什么是线段树
线段树是一棵二叉树，每个结点存储需维护的信息，一般用于处理区间最值、区间和等问题。
线段树的用处
对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是 O(log n)。
基础线段树（+ 懒标记）
为什么不写没有懒标记的版本？ 因为我太菜的不会写 因为有懒标记的版本更实用啦。
这是一道线段树区间修改，区间查询的模板题，维护的是区间和。
1. 建树
void build(int rt, int L, int R) {
l[rt] = L, r[rt] = R;
if (L == R) {
sum[rt] = a[L];
return ;
}
int mid = L + R >> 1;
build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);
update(rt);
}
作为一棵最最普通的线段树，它有一个性质，对于每个结点 x，它的左儿子的编号是 x * 2 （即代码中的 x << 1），右儿子的编号是 x * 2 + 1 （即代码中的 x << 1 | 1）。
代码中的 l 和 r 数组用于记录编号为 rt 的点所管辖的区间的左右端点。
update 是什么？它是用子节点的数据更新自身的数据，以保证正确性。
- update 的具体实现
void update(int rt) {
sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
它在后续的操作中也会用到。
2. 修改
void change(int rt, int L, int R, int x) {
if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {
sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;
lazy[rt] += x;
return ;
}
pushdown(rt);
if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);
if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);
update(rt);
}
其中传入的参数 L 和 R 表示需修改的区间的左右端点，x 表示这个区间上要加的数。
if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) 意为当该点管辖的区间被需修改的区间全覆盖时，直接修改这个点上记录的区间和，并打上懒标记，不继续下传，以保证效率。（懒标记就是一种记录修改操作的 tag，用于节省时间。）
pushdown 操作意为该点管辖的区间不完全覆盖于需修改的区间时，下传懒标记。（为什么现在才下传？因为懒标记就是这么用的 因为后面的更改会用到该点的子节点的数据，如果懒标记不下传，后面的修改操作就会出现问题。）
下面的两个 if 是什么？
if (L <= r[rt << 1]) 表示左儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。（如果还是没看出来就翻回去看看定义和性质吖）
那么是不是就知道 if (l[rt << 1 | 1] <= R) 是什么了？
对，它表示的是右儿子的区间中有部分（或全部）包含于询问区间，需统计。
传的参数为什么是这样不用我说了吧？
- pushdown 的具体实现
void pushdown(int rt) {
if (!lazy[rt]) return ;
sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt];
sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt];
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
lazy[rt] = 0;
update(rt);
}
在下传懒标记时给子节点的区间和加上 懒标记的值 × 子节点的区间大小。（给该子节点的管辖区间的所有数都加上懒标记的值，那么该区间的区间和就会加上 懒标记的值 × 区间长度。） 同时，给子节点的懒标记都加上自己的懒标记的值。（没错我还是给你吊在那里，不给你传到底） 记得清空自己的懒标记值并更新自己的区间和。
3. 查询
ll query(int rt, int L, int R) {
if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];
pushdown(rt);
ll res = 0;
if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);
if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);
return res;
}
查询其实和修改很像。（不妨肉眼观查一下） 在该结点所管辖的区间完全被覆盖时，直接返回区间和。 若未被完全覆盖，则下传懒标记，分左右儿子考虑，统计总答案并返回值。 是不是 so easy？
于是你愉快地切了这题。
完整代码，点击查看
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
inline ll read() {
ll s = 0, w = 1;
char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') w = -1; c = getchar();}
while (c >= '0' && c <= '9') s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
return s * w;
}
const int N = 100010;
int n, m, a[N];
struct SegmentTree {
ll sum[N << 2], lazy[N << 2];
int l[N << 2], r[N << 2];
void update(int rt) {
sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
void pushdown(int rt) {
if (!lazy[rt]) return ;
sum[rt << 1] += (r[rt << 1] - l[rt << 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1 | 1] += (r[rt << 1 | 1] - l[rt << 1 | 1] + 1) * lazy[rt], lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
lazy[rt] = 0;
update(rt);
}
void build(int rt, int L, int R) {
l[rt] = L, r[rt] = R;
if (L == R) {
sum[rt] = a[L];
return ;
}
int mid = L + R >> 1;
build(rt << 1, L, mid), build(rt << 1 | 1, mid + 1, R);
update(rt);
}
void change(int rt, int L, int R, int x) {
if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) {
sum[rt] += (r[rt] - l[rt] + 1) * x;
lazy[rt] += x;
return ;
}
pushdown(rt);
if (L <= r[rt << 1]) change(rt << 1, L, R, x);
if (l[rt << 1 | 1] <= R) change(rt << 1 | 1, L, R, x);
update(rt);
}
ll query(int rt, int L, int R) {
if (L <= l[rt] && r[rt] <= R) return sum[rt];
pushdown(rt);
ll res = 0;
if (L <= r[rt << 1]) res += query(rt << 1, L, R);
if (l[rt << 1 | 1] <= R) res += query(rt << 1 | 1, L, R);
return res;
}
} tree;
int main() {
n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
tree.build(1, 1, n);
while (m--) {
int op = read();
if (op == 1) {
int l = read(), r = read(), x = read();
tree.change(1, l, r, x);
}
if (op == 2) {
int l = read(), r = read();
printf("%lld\n", tree.query(1, l, r));
}
}
return 0;
}
现在，你学会了区间修改区间查询的线段树，不如想想 单点修改区间查询 和 区间修改单点查询 怎么写？（为什么没有单点修改单点查询线段树呢（小声）
点击继续研究线段树 - 线段树学习笔记（基础&进阶）（二）
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